Научный журнал
Научное обозрение. Химические науки

РАСЧЕТ АТОМНЫХ РАДИУСОВ МЕТАЛЛОВ ИСХОДЯ ИЗ ИХ ПЛОТНОСТИ

Неверов А.С. 1
1 Учреждение образования Белорусский государственный университет транспорта
В статье предлагается метод расчета атомных радиусов металлов и других простых веществ и их соединений, характеризующихся плотнейшей упаковкой атомов. Метод основан на том. что для большинства металлов реа¬лизуются структуры плотневших или близких к плотнейшим упаковок, которые характеризуются примерно одинаковой степенью заполнения атома¬ми объема кристаллической решетки. Это позволяет рассчитать плотность простого вещества, зная основные характеристики его атомов и представляя их в виде упругих сфер. Учитывая, что рассчитанная таким образом плотность вещества может значительно отличаться от экспериментальной вводится коэффициент К, связывающий расчетные и экспериментальные значения плотно¬сти. Расчет К показал, что для большинства металлов он находится в пределах 1,16 – 1,26. Аппроксимация полученных результатов по методу наименьших квадратов дала значение К = 1,225. Отличие расчетных значений атомных радиусов от экспериментальных в абсолютном большинстве случаев не превышает различия между значениями атомных радиусов одного и того же металла, приведенных в используемых литературных источниках. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях атомной структуры ве¬ществ, а также позволяют в некоторых случаях уточ¬нить экспериментально полученные значения плот¬ности металлов и величины их атомных радиусов.
радиусы атомов металлов
плотность металлов
сплавы металловплотнейшая упаковка
сингонии
кристаллические структуры
инертные газы
1. Филатов С.К., Кривовичко С.В., Бубнова Р.С. Общая кристаллография: учебник. СПб. Изд-во С.- Петерб.ун-та, 2018. 276 с.
2. Черкасова Т.Ю. Основы кристаллографии и минералогии: учебное пособи. Томск. Томский политехнический университет. Изд-во Томского Политехнического е университета, 2014. 207 с.
3. Кристаллография и минералогия : лабораторный практикум для студентов специальности 1-52 02 01 «Технология и оборудование ювелирного производства» / сост. : М. Г. Киселев, А. В. Дроздов. – Минск : БНТУ, 2013. – 129 с.
4. Семенова О. Р. Кристаллофизика: учеб. Пособие. Пермь. Перм. гос. нац. исслед. ун-т, 2019. 179 с.
5. Химия и периодическая таблица / Под ред. К. Сайто. М. Мир, 1982. 320с.
6. Металловедение и термическая обработка ста¬ли. Справ, изд. / Под ред. М. Л. Бернштейна, А.Г. Рахштадта. Т. 1. Методы испытаний и иссле¬дования. Кн. 2. М.: Металлургия, 1991. 462 с.
7. Карапетьянц М.Х., Дракин С.И. Общая и неорганическая химия. 6-е изд. URSS, 2018. 600 с.
8. Конденсированное состояние вещества. Cтруктурные особенности кристаллов благородных газов // Студенческие реферативные статьи и материалы. 2022. [Электронный ресурс]. URL
https://studref.com/463013/matematika_himiya_fizik/kondensirovannoe_sostoyanie_veschestva (дата обращения 03.09.2022)
9. Черепахин, Александр Александрович. Технология конструкционных материалов : учебник / А.А. Черепахин. — М. : КНОРУС, 2018. — 406 с.

Введение. Исходя из принципа плотной упа­ковки атомов в кристаллах [1], теоретически несложно рассчитать плотность простого вещества, зная основные характеристики его атомов и представляя их в виде упругих сфер. На первый взгляд в этом нет практического смысла, поскольку в зависимости от условий кристаллиза­ции вещество может существовать в различных кристаллических формах, плотность которых не­одинакова [2, 3]. К тому же, понятие атомного радиуса, величина которого лежит в основе расчета, является весьма неопределенным. Эти соображения позво­ляют заключить, что рассчитанная таким образом плотность вещества может значительно отличаться от экспериментальной. Разумеется, может быть вве­ден поправочный коэффициент К: ρэ = Кρр. Однако это имеет смысл только в том случае, если К является величиной постоянной для всех простых веществ или хотя бы для какой-либо группы веществ, на что трудно рассчитывать.

Приведенные доводы являются, по-видимому, одной из причин отсутствия интереса к проблеме корреляции значений плотности веществ, рассчи­танных исходя из геометрических характеристик их атомов и полученных экспериментально. В то же время известно, что для большинства металлов реа­лизуются структуры плотнейших или близких к плотнейшим упаковок, которые характеризуются примерно одинаковой степенью заполнения атома­ми объема кристаллической решетки [4]. Атомы в кристаллических решетках металлов связаны ме­жду собой химическими связями одинаковой при­роды, что обусловливает однотипный характер экс­периментального определения их атомных радиусов и получение при этом сравнимых результатов. Это дает основание предположить, что для металлов ко­эффициент К при определенных условиях может приближаться к некоторому постоянному значению.

Цель исследования. Целью данной работы является обоснование предложенной методики расчета атомных радиусов металлов и других простых веществ и их соединений, обладающих плотнейшей или близкой к ней упаковкой атомов.

Материал и методы исследования. Результаты работы получены обработкой экспериментальных данных о плотности и атомных радиусах металлов, приведенных в литературных источниках, представленных в списке литературы.

Обсуждение результатов. Для всех металлов, для которых известны величины атомных радиусов, было рассчитано соотношение:

(1).

Здесь А – масса атома металла в атомных единицах массы, 4,189r3 – объем атома, представленного в виде сферы радиуса r. Использованные в расчетах значения плотно­сти (в кг/м3) и атомного радиуса (в нанометрах) взяты из работ [5, 6]. Полу­ченные результаты приведены в табл. 1. Их анализ показывает, что большинство значений К находится в пределах 1,16 – 1,26. Более существенные отклоне­ния наблюдаются только для металлов в жидком агрегатном состоянии при комнатной температуре (Hg, Ga), металлов, кристаллическая структура ко­торых не характеризуется плотнейшей упаковкой (Sn, Ge, Po, Sb) и некоторых радиоактивных метал­лов (Pu, Am), определение плотности и атомных ра­диусов которых представляет существенные труд­ности. Коэффициент К связан с плотностью упаков­ки атомов и возрастает при ее увеличении. Это под­тверждается тем, что среднее значение К практиче­ски одинаково для структур типа А1 и A3, имеющих плотнейшую упаковку (74,1%) и составляет, соответ­ственно, 1,224 и 1,227. Для структур типа А2, плот­ность упаковки которых ниже (68%), среднее значе­ние меньше - 1,204. Еще меньшее значение К ~ 0,8 наблюдается для структур типа А4, плотность упа­ковки которых составляет 34%.

Анализ выборки, представленный на рисунке, свидетельствует, что между величиной К и атомным номером элемента не наблюдается корреляция. Около 90% всех значений К для металлов заключе­но в пределах ΔК = 1,16...1,26. Аппроксимация приведенных на рисунке результатов по методу наименьших квадратов дает значение К = 1,225 (из рассмотрения исключены металлы, значение К для которых выходит за пределы 1,1—1,3). Используя полученное значение К из соотношения (1), можно вывести простые формулы (2) и (3), расчет по кото­рым атомного радиуса и плотности более удобен, чем приведенный в [7] метод расчета через число Авогадро и мольный объем:

r = 0, 664; (2) ρ = 0,2924 , (3)

единицы измерения те же, что в формуле (1).

В табл. 2 приведены расчетные значения атом­ных радиусов металлов, полученные по формуле (2) в сравнении с экспериментально определенными значениями атомных радиусов, которые приведены в работах [5—7]. Анализ данных табл. 2 показывает, что отличие расчетных значений атомных радиусов от экспериментальных в абсолютном большинстве случаев не превышает различия между значениями атомных радиусов одного и того же металла, приведенных в используемых литературных источниках. Более того, средняя величина относительной ошиб­ки расчетных значений атомных радиусов металлов по отношению к экспериментальным результатам (1,314%), рассчитанная по формуле:

, (4)

где величины r1, r2 и r3 — экспериментальные значе­ния атомного радиуса (взяты из работ [2], [6], [5]); r4 – расчетное значение атомного радиуса, оказалась меньшим по сравнению с относительной ошибкой экс­периментальных значений радиусов для каждого из трех используемых литературных источников по от­ношению к двум остальным (5,160%, 2,375%, и 1,507% для источников [5], [6] и [7] соответственно).

Таблица 1. Значения К для металлов

Элемент

Атомный номер

К

Структура [5}

Li

3

1,247

А2

Be

4

1,240

A3

Na

11

1,252

А2

Mg

12

1,273

A3

AI

13

1,225

А1

К

19

1,214

А2

Ca

20

1,238

А1

Sc

21

1,228

A3

Ti

22

1,211

A3

V

23

1,209

А2

Cr

24

1,214

А2

Mn

25

1,227

А1

Fe

26

1,181

А2

Co

27

1,236

A3

Ni

28

1,211

А1

Cu

29

1,239

А1

Zn

30

1,227

A3

Ga

31

0,962

Р

Ge

32

0,825

А4

Rb

37

1,216

А2

Sr

38

1,207

А1

Y

39

1,230

A3

Zr

40

1,201

A3

Nb

41

1,227

А2

Mo

42

1,198

А2

Tc

43

1,236

A3

Ru

44

1,238

A3

Rh

45

1,215

А1

Pd

46

1,217

А1

Ag

47

1,218

А1

Cd

48

1,224

A3

In

49

1,220

Т

Sn(α)

50

0,800

А4

Sn(β)

50

1,018

Т

Sb

51

0,961

Тр

Cs

55

1,214

А2

Ba

56

1,152

А2

Элемент

Атомный номер

K

Структура

La

57

1,229

A3

Се

58

1,219

A3

Рг

59

1,229

A3

Nd

60

1,229

A3

Pm

61

-

-

Sm

62

1,230

Тр

Eu

63

1,129

А2

Gd

64

1,229

A3

Tb

65

1,229

A3

Dy

66

1,189

A3

Ho

67

1,230

A3

Er

68

1,231

A3

Tm

69

1,230

A3

Yb

70

1,229

А1

Lu

71

1,230

A3

Hf

72

1,257

A3

Та

73

1,200

А2

W

74

1,207

А2

Re

75

1,216

A3

Os

76

1,250

A3

Ir

77

1,229

А1

Pt

78

1,237

А1

Au

79

1,226

А1

Hg

80

1,095

-

Tl

81

1,214

A3

Pb

82

1,209

А1

Bi

83

1,178

Тр

Po

84

0,669

К

Fr

87

-

-

Ra

88

1,203

А2

Ac

89

1,225

А1

Th

90

1,230

А1

Pa

91

1,185

A3

U

92

1,200

М

Np

93

1,220

Р

Pu

94

1,450

М

Am

95

1,468

A3

           

Примечание. Все структуры стабильны при комнатной температуре: А1 — гранецентрированная кубическая; А2 — объемноцентрнрованная кубическая; A3 — гексагональная; А4 — алмазоподобная. Сингонии: К — кубическая; Т — тетрагональная; Тр — тригональная; Р — ромбоэдрическая; М — моноклинная. Для металлов с атомными номерами 96-105 расчеты не проведены из-за недостатка данных, входящих в формулу (1).

С помощью формулы (2) были рассчитаны зна­чения атомных радиусов берклия, кюрия и прометия (табл. 2), данные об экспериментально определен­ных значениях атомных радиусов которых отсутствуют. Формула (3) позволила рассчитать плотность франция (rэ = 0,28 нм; ρFr = 2970,35 кг/м3), сведения о которой отсутствуют в приведенных литературных источни­ках, и уточнить плотность радия, которая согласно работе [5] ≈5000 кг/м3, а расчетное значение соста­вило 5092,5 кг/м3.

радиусы

Известно из работ [4, 5], что структуры плотнейшей упаковки характерны также для кристаллов инертных газов. Это позволило предположить, что расчетные формулы (2) и (3) применимы и в этих случаях. Данные табл. 3 подтверждают это предпо­ложение, за исключением гелия, определение атом­ного радиуса и плотности которого представляет значительные экспериментальные трудности, что делает весьма вероятной возможность ошибки. Рас­четные значения атомных радиусов остальных инертных газов отличаются от экспериментальных [7] не более, чем на 0,004 нм. Экспериментальные значения плотности кристаллов инертных газов, используемые в расче­тах, взяты из работы [8]. С помощью формулы (3) рассчитана плотность твердого радона (ρRn = 4681,69 кг/м3), сведения о которой отсутствуют в литературе.

Полученные зависимости можно использовать также для расчета плотности некоторых сплавов, если входящие в их состав металлы имеют близкие значения атомных радиусов. Так для сплавов типа твердых растворов замещения может быть предло­жена следующая формула для расчета плотности:

. (5)

Таблица 2. Экспериментальные (r1, r2, r3) и расчетные (r4) значения атомного радиуса металлов

Атомный номер

Элемент

r1, нм

×102

r2, нм

×102

r3, нм ×102

r4, нм

×102

 

3

Li

15,70

15,50

15,20

15,61

 

4

Be

11,30

11,30

11,13

11,26

 

11

Na

19,20

18,90

18,58

19,07

 

12

Mg

16,20

16,00

15,98

16,00

 

13

Al

14,30

14,30

14,32

14,30

 

19

К

23,60

23,60

22,72

23,68

 

20

Ca

19,70

19,70

19,74

19,64

 

21

Sc

16,40

16,40

16,06

16,39

 

22

Ti

14,50

14,60

14,48

14,56

 

23

V

13,40

13,40

13,11

13,46

 

24

Cr

12,80

12,70

12,49

12,83-12,85*

 

25

Mn

13,00

13,00

13,66

12,93-13,07*

 

26

Fe

12,60

12,60

12,41

12,76

 

27

Co

12,50

12,50

12,53

12,47

 

28

Ni

12,40

12,40

12,47

12,45

 

29

Cu

12,80

12,80

12,78

12,76

 

30

Zn

13,90

13,90

13,32

13,90

 

31

Ga

13,80

-

12,20

14,50

 

32

Ge

13,90

-

13,70

15,86

 

37

Rb

25,30

24,80

24,57

25,37

 

38

Sr

12,50

21,50

21,52

21,61

 

39

Y

18,01

18,10

17,76

17,99

 

40

Zr

15,90

16,00

15,89

16,01

 

41

Nb

14,70

14,50

14,29

14,70

 

42

Mo

13,90

13,90

13,63

14,01

 

43

Tc

13,60

13,60

13,52

13,56

 

44

Ru

13,40

13,40

13,25

13,36

 

45

Rh

13,40

13,40

13,45

13,44

 

46

Pd

13,70

13,70

13,76

13,74

 

47

Ag

14,40

14,40

14,45

14,43

 

48

Cd

15,60

15,60

14,89

15,61

 

49

In

16,60

16,60

16,20

16,63

 

50

Sn

15,80

-

16,20

16,81-18,21*

 

51

Sb

16,10

-

14,50

17,46

 

52

Те

17,00

-

14,30

18,16

 

55

Cs

27,40

26,80

26,55

27,49

 

56

Ba

22,10

22,10

21,73

22,54

 

Атомный номер

Элемент

r1, нм

×102

r2, нм

×102

r3, нм

×102

r4, нм

×102

57

La

18,79

18,70

18,69

18,77

58

Се

18,20

-

 

18,23-18,33*

59

Pr

18,28

18,20

18,20

18,38

60

Nd

18,21

-

18,14

18,20-18,38*

61

Pm

-

-

-

18,04

62

Sm

18,04

-

-

18,02

63

Eu

19,84

20,20

19,95

20,40

64

Gd

18,01

17,90

17,86

17,99

65

Tb

17,83

17,70

17,63

17,81

66

Dy

17,74

17,70

17,52

17,72

67

Ho

17,66

17,60

14,43

17,64

68

Er

17,57

17,50

17,34

17,55

69

Tm

17,46

17,40

17,24

17,44

70

Yb

19,39

19,30

19,40

19,38

71

Lu

17,35

17,40

17,17

17,33

72

Hf

15,90

15,90

15,64

15,78

73

Та

14,60

14,60

14,30

14,71

74

W

14,00

14,00

13,70

14,08

75

Re

13,70

13,70

13,70

13,74

76

Os

13,60

13,50

13,38

13,51

77

Ir

13,60

13,50

13,58

13,58

78

Pt

13,90

13,80

13,87

13,86

79

Au

14,40

14,40

14,44

14,40

80

Hg

15,70

16,00

15,02

16,31

81

Tl

17,10

17,10

17,04

17,16

82

Pb

17,40

17,50

17,50

17,48

83

Bi

18,20

-

15,43

18,45

84

Po

15,30

-

16,70

18,43-18,72*

88

Ra

23,50

-

-

23,65

89

Ac

20,30

-

18,78

18,76

90

Th

35,90

18,00

17,97

17,96

91

Pa

16,20

16,20

16,06

16,39

92

U

15,30

15,30

13,90

15,41

93

Np

15,00

15,00

13,10

15,03

94

Pu

16,20

-

15,13

16,47

96

Cm

-

-

-

17,49

97

Bk

-

-

-

17,28

                   

Примечание. * – Значения атомного радиуса, полученные при использовании в расчетах двух значений плотности – максимального и минимального

Таблица 3. Экспериментальные (rэ ρэ) и расчетные (rр, ρр) значения атомных радиусов и плотности инертных газов в кристаллическом состоянии

Элемент

rэ, нм ×102 [7]

rр, нм×102

ρэ г/см3 [8]

ρр, г/см3

Не

12,2

17,8

0,194

0,644

Ne

16,0

15,8

1,444

1,441

Аг

19,1

18,8

1,623

1,676

Кг

20,1

20,3

2,826

3,017

Хе

21,8

21,4

3,540

3,706

Rn

22,2

 

-

4,682

Для основного металла и растворенных метал­лов, радиус атомов которых совпадает с радиусом атомов основного металла η = 1. В табл. 4 приведе­ны результаты расчетов плотности некоторых латуней. Для цинка в расчетах принято значение коэф­фициента η = 1,12. Сравнение полученных данных с экспериментальными свидетельствует о незначи­тельном их различии.

Таблица 4. Экспериментальные (ρэ) и расчетные (ρр) значения плотности некоторых латуней

Марка

Состав, %

ρэ, г/см3 [9]

ρр, г/см3

Сu

Zn

Л96

96

4

8,85

8,85

Л90

90

10

8,78

8,77

Л85

85

15

8,75

8,75

Л80

80

20

8,66

8,70

Л70

70

30

8,61

8,63

Л68

68

32

8,60

8,60

Л63

63

37

8,40

8,57

Выводы. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях атомной структуры ве­ществ, а также позволяют в некоторых случаях уточ­нить экспериментально полученные значения плот­ности металлов и величины их атомных радиусов.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ρэ, ρр – экспериментальная и расчетная плот­ность вещества; А – атомная масса металла; К – поправочный коэффициент; r – атомный радиус ме­талла, кристаллическая решетка которого сохраняет­ся в сплаве (растворитель); С1 С2, ... Сi – концен­трация металлов, входящих в состав сплава; А1, А2, ... Аi – атомные массы металлов; η1, η2,... ηi – попра­вочные коэффициенты, учитывающие искажение кристаллической решетки за счет различия радиусов атомов растворенного металла и растворителя.


Библиографическая ссылка

Неверов А.С. РАСЧЕТ АТОМНЫХ РАДИУСОВ МЕТАЛЛОВ ИСХОДЯ ИЗ ИХ ПЛОТНОСТИ // Научное обозрение. Химические науки. – 2022. – № 1. ;
URL: https://science-chemistry.ru/ru/article/view?id=61 (дата обращения: 29.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674